Academicas, Hablemos de Finanzas - 22/10/2013

“Intuyendo” a William Sharpe

Maestría en Finanzas: Reunión informativa: Jueves 24 de Octubre, 19.30h.

Junto con la fórmula de Black and Scholes, probablemente, la ecuación de William Sharpe sea de las más conocidas en el contexto de las finanzas tanto a un nivel académico como práctico. El intenso uso que cotidianamente se hace de la misma no siempre juega a favor de su justa comprensión y alcance. Es precisamente la excesiva automaticidad en su uso lo que motiva los siguientes párrafos, de hecho, la literatura dedicó mas de tres décadas para su comprensión, crítica y asimilación, y al día de hoy sigue siendo un punto de debate.

Recordemos que la ecuación del Capital Asset Pricing Model (CAPM) establece lo siguiente:

Dicha ecuación indica que el retorno esperado de un activo (parte izquierda de la ecuación), está compuesto por un término libre de riesgo (primer término a la derecha) y una prima de riesgo (segundo término a la derecha). A los efectos de ganar intuición respecto a esta expresión y de esta forma darle a la ecuación su verdadera dimensión es importante empezar teniendo presente la definición de “Beta” y su alcance:

En donde, el término superior de la expresión mide la covarianza del retorno del activo respecto al retorno del portfolio de mercado, y el término inferior mide la varianza del retorno del portfolio de mercado, o lo que es lo mismo, “ancla” de mercado. Es precisamente en este punto en donde la automaticidad traiciona a lo sustancialmente conceptual detrás de la expresión en el sentido que no se dimensiona en su totalidad el alcance y significado del Beta.

Podemos empezar diciendo que otro nombre ilustre en finanzas, Harry Markowitz, está implícito en el “Beta” de William Sharpe. La razón es que en un mundo “diversificable” como el que modeló Markowitz, la diversificación destruye en el límite al riesgo especifico sobreviviendo solamente el riesgo sistemático. Precisamente, la covarianza del retorno del activo respecto al retorno del portfolio de mercado es la contribución marginal al riesgo sistemático del portfolio correspondiente al activo. De esta forma, podríamos decir que la covarianza mide entonces la parte del riesgo sistemático por la cual el activo es responsable en el margen.

Siguiendo a Markowitz, el divisor de la expresión precedente mide la varianza del portfolio diversificado escogido “por todos” como el ancla de mercado. De este forma, el divisor puede entenderse como la medida de riesgo sistemático en una economía determinada. Habiendo hecho esta aclaración conceptual en el parámetro más importante de la ecuación de Sharpe, expresemos la misma de la siguiente forma:

El término:

Mide las unidades de retorno neto estandarizado por unidad de riesgo no diversificable. Este ratio indica cuánto compensa el portfolio de mercado cada unidad de riesgo contenida en el mismo. De esta forma nace el famoso “ratio de Sharpe” el cual puede conceptualizarse en un extremo como el premio por unidad de riesgo no diversificable. Recordemos que en equilibrio, el único riesgo que debe ser compensado es el sistemático dado que toda compensación por riesgo específico es ineficiente porque el mismo puede eliminarse a través de la diversificación.

Dado este análisis, consideremos nuevamente la ecuación precedente y preguntémonos lo siguiente: qué mide entonces el segundo término de la ecuación?:

La contribución al riesgo no diversificable del activo,

 está multiplicada por “el premio” al riesgo no diversificable contenido en el portoflio de mercado,

Podemos entender a este producto como “el premio justo” que el activo debería recibir por su contribución marginal al riesgo sistemático. Todo riesgo en una economía diversificada tiene el mismo precio justo:

¿Por qué justo?, la razón es que en primer lugar la tasa de descuento de un activo particular no contiene ningún premio por riesgo especifico dado que implícita en la ecuación del CAPM está la diversificación de Markowitz. En segundo lugar, cada activo debe ser compensado sólo por su contribución marginal al riesgo sistemático, toda contribución adicional exigiría al activo un premio que no se merece. De esta forma, la ecuación de Sharpe indica que un activo debe llevarse en equilibrio un retorno que se explique por la tasa libre de riesgo mas un premio por riesgo. Este premio resulta del producto entre las unidades de riesgo por las cuales el activo es responsable valuadas por el precio del único riesgo compensable: el diversificable.

Lo interesante de la ecuación del CAPM es que resulta de la conjunción de tres nombres ilustres en finanzas: Harry Markowitz, Robert Merton, y obviamente William Sharpe, todos ellos ganadores del Premio Nobel de Economía. Otra forma de “seguir intuyendo” a Sharpe es identificando en qué parte de la ecuación están presentes cada uno de los autores mencionados.

Es en este sentido en donde se hace necesario resaltar la contribución que hizo Robert Merton al formalizar la generación de la frontera eficiente de retornos o, lo que es lo mismo, diversificación óptima. Recordemos que la misma surge de un proceso de minimización de varianza sujeto a una restricción de retornos esperados para el portfolio. El resultado de esta optimización es precisamente un conjunto de portfolios óptimos para cada retorno esperado requerido. Es ahora en donde nos podríamos preguntar lo siguiente: a nivel de equilibrio microeconómico, qué es la frontera eficiente?. La misma en realidad juega el rol de la oferta en este modelo. En un extremo, podríamos decir que Robert Merton se encargó de definir la oferta de portfolios óptimos que enfrenta el modelo de Sharpe por el lado de la demanda. Debería ser obvio a esta altura identificar a Markowitz, todo proceso de optimalidad tiene implícito un proceso de diversificación óptima. De esta forma, son las mismas derivadas primeras del modelo de Merton las que dejan el sello implícito de Markowitz.

Habiendo dicho esto nos podemos ahora preguntar cuál es el rol de Sharpe, quien es en definitiva el padre de la mencionada ecuación. Sharpe agregó una condición de equilibrio que no está presente en el modelo de Robert Merton. El modelo de Merton identifica una conjunción de portfolios óptimos pero no define a ninguno de ellos como el “preferido” por el mercado. Obviamente, en economía no podemos hablar de equilibrio si no aparece una curva de demanda. Precisamente, la contribución de Sharpe fue demostrar que bajo ciertos supuestos referidos a las preferencias de los agentes es posible demostrar que en equilibrio los mismos eligen al portoflio tangente como su benchmark o ancla de riesgo. Es decir, si nos imaginamos a Merton y a Sharpe interactuando, la frontera eficiente de Merton hace tangencia con la curva de indiferencia introducida por Sharpe y de esta interacción surge el equilibrio del agente. De esta forma, la gran contribución de Sharpe fue “agregarle” al modelo de Merton el comportamiento de la demanda identificando de esta forma al “ancla de equilibrio de mercado” o como mas comúnmente se conoce, el portfolio de mercado, dentro de todos los óptimos definidos por Merton.

Finalmente, es aquí en donde también se subestima a veces el mensaje de la ecuación del CAPM. Se comenta que el CAPM sobresimplifica la realidad al punto que predice que todos los agentes escogen el mismo portfolio. Técnicamente es cierto que todos los agentes escogen un portfolio que es el mismo: el de mercado o su ancla de riesgo convirtiéndolo en el de mercado. Sin embargo, eso no quiere decir que cada agente termine teniendo como cartera individual una idéntica, si eso fuera así, la misma evidencia empírica refutaría al modelo inmediatamente. Lo que el CAPM dice es que todos lo agentes escogen como ancla de riesgo a un portoflio idéntico pero también dice que de acuerdo a sus preferencias al riesgo, cada agente combinará ese activo riesgoso con el activo libre de riesgo. De esta forma, el portfolio de cada individuo termina compuesto por dos activos: el libre de riesgo y el portoflio de mercado pero con combinaciones diferentes. Todos los activos representados en el portfolio de mercado están ligados al mismo a través de la ecuación de Sharpe:

 

 De esta forma, uno puede ver en la ecuación de Sharpe sólo un retorno. Sin embargo, es mucho mas rico pensar en esta ecuación como la conjunción de una multiplicidad de conceptos que son la base de la teoría financiera actual: optimalidad, diversificación, compensación justa al riesgo, y equilibrio. Solo bajo el cumplimiento simultáneo de estos conceptos la ecuación de Sharpe es válida.

 Fuente de la imagen

2 comentarios para “Intuyendo” a William Sharpe

  1. Jeremias dice:

    German, este post me parecio excelente, como estudiante de la licenciatura en finanzas, he estudiado y analizado en reiteradas ocasiones estas ecuaciones, pero la forma en que aqui esta explicada me parece simple y muy comprensible.- Desde ya gracias por tu trabajo.

    saludos

  2. Mr C dice:

    Hola, me dio curiosidad saber mas del tema. Que bibliografia se puede consultar. Saludos
    (estudio por cuenta propia)

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